1.9.2 谓词逻辑、形式逻辑基础知识

　　1.谓词概念：用以刻画客体的性质或关系的词；

　　用谓词表达命题必须包括两个部分：客体和谓词字母，其中客体表示的是对象而谓词字母表示的是客体之间的关系。可以分为一元谓词，记作A（b），二元谓词，记作B（a ,b）等等。

　　单独一个谓词不是一个完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。

　　有N个客体变元的谓词称为N元谓词。

　　谓词命名式中客体变元的取值范围叫客体域。

　　例：论述域a{人}，b{人，地名}，c{实数，实数，实数}。

　　注意：空集不能作为论述域。

　　若A代表一特定谓词，A称为谓词常元。

　　若A 代表任意谓词， A称为谓词变元。

　　注：（1）单独的客体或单独的谓词不能构成命题。

　　（2）在谓词命名式中，若谓词是常元，个体变元代以   论述域中某客体才成为命题。

　　（3）命题是0元谓词。

　　2.命题函数：由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数，有0元和n元命题函数。

　　量词：分为全称量词和存在量词。

　　全称量词：“x读作‘对任意x’，xP（x）表示‘对一切x,P（x）为真’。

　　┐x┐P（x）表示，‘并非对任意x, ┐P（x）是真'。

　　存在量词：x读作’至少有一x‘，’存在一x'。

　　x ┐P（x）表示，‘存在一x，使┐P（x） 为真'。

　　┐x ┐P（x）表示，‘并非存在一个x，使P（x）为真’。

　　任意谓词中任意个体变元的所有个体域称全总个体域。

　　注：使用全总个体域后，个体变元取值范围一致。

　　但不同论述对象须用不同的特性谓词加以刻划。

　　个体词：

　　个体域：

　　3.不出现命题联结词和量词的谓词命名式P（X1, X2…Xn）称为谓词演算的原子公式。

　　谓词演算的合式公式简称谓词公式，定义如下：

　　1）谓词演算的原子公式是谓词演算公式。

　　2）若A， B是谓词演算公式，则：

　　（┐A），（AB），（AB），（A→B），（AB），

　　（XA）和（XA）是谓词演算公式。

　　3）只有有限次应用步骤1）和2）构成的公式才是谓词演算公式。

　　4.自由变元与约束变元：

　　定义：在量词X，$X辖域内变元X的一切出现叫约束出现，称这样的X为约束变元。

　　变元的非约束出现称为自由出现，称这样的变元为自由变元。

　　谓词演算的永真公式：对公式A和B中的谓词变元（包括命题变元），指派任一在E上有定义的确定的谓词，指派E中任一确定的个体，若所得命题有相同的真值，称在E上AB。

　　例如：1.XP（X）→XR（X） ┐XP（X） XR（X）

　　2.XA A XA A 这里A不含自由变元X

　　3. a.XP（X）P（Y）或XP（X）P（X）

　　b.P（Y）X P（X）或P（X） P（X）

　　c.XP（X）XP（X）

　　4.a.XA（X）P X（A（X）P）

　　b.XA（X）P X（A（X）P）

　　c.XA（X）P X（A（X）P）

　　d.XA（X）P X（A（X）P）

　　5.前束范式：量词均在谓词公式开头，作用域延伸到整个谓词公式末尾的谓词公式称为前束范式。

　　例1：xyz（Q（x，y） →R（z））

　　例2：xy（┐P（x，y） →Q（y））

　　例1把xy（┐（zP（（x,y,z）P（y,z）））→uQ（x,y,u））化为前束范式。

　　解：原式

　　xy（┐（z（P（x，z） P（y，z））uQ（x，y，u））

　　xy（z（┐P（x，z）┐P（y，z））uQ（x，y，u））

　　xyzu（┐P（x，y）┐P（y，z）Q（x，y，u））

　　定义：若谓词公式是前束范式且作用域为合取范式，则称为前束合取范式。

　　前束合取范式形式：（□u1）（□u2）……（□un）（（A11……A1m1） … （An1… Anmn））

　　定义：若谓词公式是前束范式且作用域为析取范式，则称为前束析取范式。

　　前束析取范式形式：

　　（□u1）（□u2）……（□un）（（A11……A1m1）…  （An1…… Anmn））

　　6.推理规则与推理理论：

　　命题演算中的所有推理规则都是谓词演算中的推理规则，谓词演算的所有永真式也是谓词推理规则。

　　四条重要的推理规则

　　1.全称指定规则，简记为US：对一切x，P（x）为真，可推得任意一个确定的c，使P（c）为真。

　　2.存在指定规则，简记为EG：至少存在一个x使得A（x）为真。即可推得有一个确定的c,使P（c）为真。

　　3.存在推广规则，简记为EG：c是某个确定的个体，若P（c）为真，则$x P（x）为真注意：c不能出现在P（c）中的x的辖域中。

　　4.全称推广规则，简记为UG：若对个体域中每一个客体c，P（c）断言为真则x P（x）为真。