23、二叉排序树(BST, Binary SortTree) 的C++实现

　　二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。

　　(1)二叉排序树定义：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：

　　①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;

　　②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值;

　　③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

　　上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

　　(2)二叉排序树的特点

　　由BST性质可得：

　　[1]二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。

　　[2]二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。 注意：实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质[1]里的"小于"改为"小于等于"，或将BST性质[2]里的"大于"改为"大于等于"，甚至可同时修改这两个性质。

　　[3]按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。

　　(3)在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关：

　　①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺序查找相同，亦是(n+1)/2。

　　②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。

　　③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。

　　(4)二叉排序树和二分查找的比较

　　就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找差不多。

　　就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移动结点，只需修改指针即可完成插入和删除操作，且其平均的执行时间均为O(lgn)，因此更有效。二分查找所涉及的有序表是一个向量，若有插入和删除结点的操作，则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当有序表是静态查找表时，宜用向量作为其存储结构，而采用二分查找实现其查找操作;若有序表里动态查找表，则应选择二叉排序树作为其存储结构。

　　//二叉查找树代码

　　//BTreeNode.h二叉树结点抽象类型

　　#ifndefBTREENODE_H

　　#defineBTREENODE_H

　　#include

　　//template class BTree;

　　template class SortBTree;

　　template class BTreeNode

　　{

　　//friend class BTree;

　　friend class SortBTree;

　　public:

　　BTreeNode():lchild(NULL),rchild(NULL){ };

　　BTreeNode(const T&dt,BTreeNode *lch =NULL , BTreeNode *rch = NULL)

　　:data(dt),lchild(lch),rchild(rch){};

　　T get_data()const {return data; };

　　BTreeNode* get_lchild()const{return lchild; };

　　BTreeNode* get_rchild()const{return rchild; };

　　void set_data(const T& d) { data =d;};

　　protected:

　　private:

　　T data;

　　BTreeNode *lchild, *rchild;

　　};

　　#endif

　　/************************************************************************

　　*SortBTree.h

　　* 根据给定的字符串构造一个排序二叉树

　　* 从排序二叉树中寻找最大值，最小值，不存在时抛出invalid_argument异常

　　* 从排序二叉树中删除某一元素，不存在时抛出invalid_argument 异常

　　* 往排序二叉树中添加一个新元素

　　************************************************************************/