1975 年，著名科学家曼德布罗特(B. B.Mandelbrot )发表了划时代的专著《分形：形态，机遇和维数》，这标志着分形几何学的诞生，该书于1982 年再版时易名为《大自然的分形几何学》。 
　　曼德布罗特曾给出分形的定义：分形是局部与整体在某种意义下存在相似性的形状。这强调了分形的自相似性，但把某些分形排除在外。 
　　后来，英国数学家法尔科内(Falconer ，1991 ；1999) 提出罗列分形集的性质，来给分形下定义。如果集合F 具有下面所有的或大部分的性质，它就是分形： 
　　1．F 具有精细的结构，即有任意小尺度的不规则的细节； 
　　2．F 具有如此的不规则，以致于它的局部或整体都不能用微积分的或传统的几何语言来描述； 
　　3．通常F 具有某种自相似或自仿射性质，这可以是统计意义上的； 
　　4．F 的“分形维数”(用某种方式定义的) 通常严格大于它的拓扑维数； 
　　5．在许多有趣的情况下，F 具有非常简单的、可能是由迭代给出的定义； 
　　6．通常F 具有“自然”的外貌。 
　　有必要明确，分形的不规则性并非无序，而是存在层次结构(hierarchical organization) 按一系列尺度( scales) 在几何形态上自身重复，即这种不规则的形态在层层尺度上是相似的，从而可称之为自相似性( self-similarity) 或标度不变性(scale-sinvariance) 。  
　　顺便说明，自相似即是自身进行相似变换，也称尺度变换或标度变换(scale ransformation) ，属于线性变换。这样的分形，包括自相似分形，统称为标度分形(scaling fractal ) ，本文所讨论的分形均在此范围内。若是非线性变换，则称为非标度分形(non-scaling fractal ) (曼德布罗特，1998) 。此外，在物理学中两个变量之间只要满足标度关系就被称为标度行为，因而标度分形具有标度行为，其分形维数可称为标度指数(scaling exponent) 。 
　　自然界当中，闪电、树枝、花菜、海岸线和海螺纹，其形态就具有分形特征。当然，这些现实中的自然形态只是在一定尺度范围内符合分形特征。而分形是数学上的几何抽象，具备无穷小尺度的层次结构。这正如欧氏几何的直线和平面是数学抽象，在现实中是找不到的。